BZOJ1002 - [FJOI2007]轮状病毒

2016/12/10

题目

一个长为 N 的环,环上各点连到一个超级点上构成的图,求该图的生成树计数。

结论是一个递推式

1. 严格推导

要用到 Matrix-Tree定理 ,具体来说就是:

对于一个图的基尔霍夫矩阵,它的 N-1 阶主子式就是图的生成树计数

其中基尔霍夫矩阵定义如下:

是度数矩阵, 是邻接矩阵

vfk的博客上有这道题的推导

2. 打表啊

打表多好!

OEIS 上对应的数列

代码

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int NSIZ = 1E3;

struct bignum {
    int A[NSIZ], len;
    bignum() { memset(A, 0, sizeof(A)); len = 0; }
    bignum(const bignum &x) { memcpy(A, x.A, sizeof(A)); len = x.len; }
    bignum friend operator + (const bignum &lhs, const bignum &rhs) {
        bignum ret = lhs;
        ret.len = max(ret.len, rhs.len);
        for(int i=0;i<ret.len;++i) {
            ret.A[i] += rhs.A[i];
            ret.A[i+1] += ret.A[i] / 10;
            ret.A[i] %= 10;
        }
        while(ret.A[ret.len]) ++ret.len;
        return ret;
    }
    bignum friend operator - (const bignum &lhs, const bignum &rhs) {
        bignum ret = lhs;
        for(int i=0;i<rhs.len;++i) {
            ret.A[i] -= rhs.A[i];
            if(ret.A[i] < 0) {
                --ret.A[i+1];
                ret.A[i] += 10;
            }
        }
        while(!ret.A[ret.len-1]) --ret.len;
        return ret;
    }
    void print() const {
        for(int i=len-1;i>=0;--i) {
            cout << A[i];
        }
        cout << endl;
    }
};

int main() {
    int N; cin >> N;
    bignum _2; _2.A[0] = 2;
    bignum C[3]; int pos = 2;
    C[0].A[0] = 1; C[1].A[0] = 5;
    _2.len = C[0].len = C[1].len = 1;
    if(N <= 2) { C[N-1].print(); return 0; }
    for(int i=2;i<N;i++) {
        C[pos] = C[(pos - 1 + 666)%3] + C[(pos - 1 + 666)%3] + C[(pos - 1 + 666)%3] -
                 C[(pos - 2 + 666)%3] + _2;
        pos = (pos + 1) % 3;
    }
    C[(pos - 1 + 666)%3].print();
}